Soluciones al problema

Para ir cambiando el multiplicador con frecuencia, lo que se debe hacer es declarar una variable para este:

 var multiplicador = 8;

  document.write("5 por 1 es " + multiplicador * 1 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 2 es " + multiplicador * 2 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 3 es " + multiplicador * 3 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 4 es " + multiplicador * 4 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 5 es " + multiplicador * 5 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 6 es " + multiplicador * 6 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 7 es " + multiplicador * 7 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 8 es " + multiplicador * 8 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 9 es " + multiplicador * 9 + "<br>");
    document.write(multiplicador+" por 10 es " + multiplicador * 10 + "<br>");

Pero siguiendo el titulo del problema: "¡Facilitando nuestras vidas!", se puede resolver mejor con un for, de la siguiente manera:

 var multiplicador = 8;
    for(i=1; i<=10; i++){
      document.write(multiplicador+ " por "+ i+ " es " + (multiplicador*i)+ "<br>")
    }