var nombre = document.querySelector("#nombre").innerHTML;
nombre = "Mi nombre es Álvaro";Al ver el código, puedo evidenciar la propiedad ".innerHTML" esta en el lugar equivocado, ya que esta no puede estar acompañando la apertira de una variable, debe acompañar a la variable ya creada para poder hacer las modificaciones, asi sería lo correcto:
var nombre = document.querySelector("#nombre");
nombre.innerHTML = "Mi nombre es Álvaro";