¿Si queremos la tabla de 8? Tenemos que hacer la alteración de los valores en diferentes lugares. ¿Qué podemos hacer para calcular la tabla de multiplicar de otros números sin necesidad de realizar tantas alteraciones?

Esta sería una forma rápida:

<meta charset="UTF-8">
<script>
var multiplicando = 8, multiplicador = 0;
document.write(multiplicando + "por 1 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 2 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 3 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 4 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 5 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 6 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 7 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 8 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 9 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
document.write(multiplicando + "por 10 es " + multiplicando * ++multiplicador + "<br>");
</script>

Sin embargo, aún se puede mejorar utilizando un ciclo "for" o "while" para cambiar la variable multiplicador de cada operación pudiendo también definir mas cantidad de operaciones, y se puede agregar una forma dinámica para que el usuario pueda cambiar cual tabla y cuantas operaciones desea mediante un elemento "select" o mejor aún un elemento "datalist". Saludos!