puedes agregar un document.write al final del codigo

<meta charset="UTF-8">

<h1>Recetas</h1>

<script>

    var ingredientes = [];
    var cantidad = parseInt(prompt("¿Cuántos ingredientes vas a añadir?"));
    var contador = 1;

    while(contador <= cantidad) {

        var ingrediente = prompt("Informe el ingrediente " + contador);
        var existe = false;

        for(var posicion = 0; posicion < ingredientes.length; posicion++){

            if(ingredientes[posicion] == ingrediente){

                existe = true;
                alert("ya existe " + ingrediente);
                break;

            }

        }

        if (existe == false){

            ingredientes.push(ingrediente);
            contador++;
        }

    }

    document.write("ingredientes " + ingredientes);

</script>

Gracias