Analizando el código pude notar que se inicializa la variable contador = 1, posterior a eso entra el bucle while que evalúa la condición, contador <= 10; como esta condición es cierta (ya que contador = 1) entra al bucle e imprime el valor de contador, que es uno. Este bucle vuelve a evaluar si contador <= 10; como es verdad, nuevamente imprime 1 y así infinitamente. La solución seria incrementar esa variable para que llegue en algún momento contador a valer 10 o más y salga del bucle.
package proyecto;
public class Programa {
public static void main (String[] args) {
int contador = 1;
while (contador <= 10) {
System.out.println (contador);
contador++;
}
}
}