El codigo dado:
<p id="nombre">Mi nombre es Pedro</p>
var nombre = document.querySelector("#nombre").innerHTML;
nombre = "Mi nombre es Álvaro";carece de la etiqueta
<script></script>
y la propiedad .innerHTML no va donde se declara nombre, si no que se edita una vez que se ha declarado.
Mi propuesta de solucion es la siguiente:
<p id="nombre">Mi nombre es Pedro</p>
<script>
var nombre = document.querySelector("#nombre");
nombre.innerHTML = "Mi nombre es Álvaro";
</script>
