Problema en el código, si acierto a la primera o segunda sigue saliendo acertó en el intento 3

No pongas la variable intentos pon la variable contador.

El problema esta en que estas usando la variable "intentos" y por ende esta declarada como 3 siempre, el que va a cambiar de valor es la variable "contador" por que es la que incrementa hasta que logres atinarle al numero adivinado

<meta charset="UTF-8">

<h1>JUEGO DE ADIVINACIÓN</h1>
<br>
<br>

<script>

    function saltarlinea() {
        document.write("<br><br><br>");

    }

    function imprimir(frase) {
        document.write(frase)
        saltarlinea();
    }

    var numeroPensado = Math.round(Math.random()*10);
    var intentos = 3;
    var contador = 1;

    while(contador <= intentos){

        var numeroLanzado = parseInt(prompt("Ingrese un número entre 0 y 10"));

        if(numeroPensado == numeroLanzado){
            alert("usted acertó en el intento " + contador + " el número pensando era " + numeroPensado);
            break;

        }

        else {
            alert("usted erró")

        }

        contador++
    }

    if (numeroLanzado == numeroPensado){
        imprimir("Usted acertó, en el intento " + contador + " el número pensado era " + numeroPensado);

    }

    else {
        imprimir("Usted erró, el número pensado era " + numeroPensado);
    }

    imprimir("Fin")

</script>

Gracias yo también tenia el mismo error, saludos

la variable contador es la que esta incrementando hasta ser igual con la variable intentos la cual esta declarada desde el inicio y tiene un valor de 3 es por eso que si requieres mostrar al usuario en que intento puso ese numero o le atino debes usar la variable contador