¡Hola Jaime, espero que este bien!
Revisé su código y los pasos para usar el controlador JDBC y conectarse a la base de datos son correctos en la sintaxis.
Pero hay un paso importante, pero a partir del código no puedo ver si lo hiciste. Como el controlador es una biblioteca no nativa, debe indicar la dirección donde se encuentra el archivo con la extensión "jar" y cargarlo en la ruta de compilación. ¿Hiciste esta importación?
En eclipse el camino es: haga clic con el botón derecho en el proyecto -> Build Path -> Configure Build Path (como en la imagen siguiente)
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