Buenas tardes a todos instale la extención Live Server al hacer click sobre Open with Live Server no pasa nada no me habre una nueva pestaña en el navegador con el index.html ya configure el navegador para Live Server "liveServer.settings.CustomBrowser": "chrome"
Hola, es la segunda vez que edito, pero pude solucionar el problema que tenía y quizá a ti te funciones. Yo no he encontraba el Live Server para descargar ni actualizar; así que desinstalé Visual Studio y cuando lo vol´vi a instalar ya me aparecía el Liv Server y cuando le doy click derecho en el archivo HTML, también me da la opción de abrir con el Live Server.
Espero que te pueda funcionar.