var nombre = document.querySelector("#nombre").innerHTML;
nombre = "Mi nombre es Álvaro";El error de Álvaro fue colocar "nombre = " porque la variable nombre no es una propiedad si no innerHTML lo tenía que hacer era colocar "= Mi nombre es Álvaro" al lado de innerHTML para que pueda retornar lo que él quiera.
<p id="nombre">Mi nombre es Pedro</p>
<script>
var nombre = document.querySelector("#nombre").innerHTML = "Mi nombre es Álvaro";
</script>