Hola Sebastián,

Lo que podrías hacer es crear una función para pedir la contraseña y otra para pedir el usuario, así:

function pedirUsuario() {
        return prompt("Ingrese su usuario");
    }

function pedirContrasenha() {
        return prompt("Ingrese su contraseña");
    }

Luego las llamas y las almacenas en las variables. El código final sería así:

<meta charset="UTF-8">
<script>

    function pedirUsuario() {
        return prompt("Ingrese su usuario");
    }

    function pedirContrasenha() {
        return prompt("Ingrese su contraseña");
    }

    var inicioDeSesionRegistrado = "alura";
    var contrasenhaRegistrada = "alura321";

    var inicioDeSesionIngresado = pedirUsuario();
    var contrasenhaIngresada = pedirContrasenha();

    var contador = 1;


    while(contador < 3){

    if( inicioDeSesionRegistrado == inicioDeSesionIngresado && contrasenhaRegistrada == contrasenhaIngresada ) {
        alert("Bienvenido al sistema " + inicioDeSesionIngresado);
        break;

    } else {
        alert("inicio de sesión inválido. Favor intente de nuevo");
        contador++;
        var inicioDeSesionIngresado = pedirUsuario();
        var contrasenhaIngresada = pedirContrasenha();
    }
    if (contador == 3){
        alert("No le quedan más intentos")
    }
}
</script>

Espero haberte ayudado, éxitos!

Hola Sebastián proba de esta manera....

var intentos = 0;

while(intentos <= 3){

        var inicioDeSesionIngresado = prompt("Ingrese su usuario");
        var contrasenhaIngresada = prompt("Ingrese su contraseña");

        if( inicioDeSesionRegistrado == inicioDeSesionIngresado && contrasenhaRegistrada == contrasenhaIngresada ) {
            alert("Bienvenido al sistema " + inicioDeSesionIngresado);
            break;
        } 
        else {
            if(intentos == 3){
                alert("inicio se sesión invalido");
                break;
            }
            else{
                alert("inicio de sesión inválido. Favor intente de nuevo");
            }
        }
        intentos++;
    }