¡Hola Andrés!
Por lo que puedo entender, estás teniendo problemas al instalar y utilizar el browser sync en tu proyecto. Parece que el problema radica en que no se está detectando el archivo "db.json" y, por lo tanto, no se muestran los perfiles. Sin embargo, cuando ejecutas el comando "json-server --watch db.json" y abres "lista_cliente.html" desde live server, todo vuelve a la normalidad.
El error que estás recibiendo al utilizar el browser sync parece indicar que hay un problema con la ruta del archivo "db.json". Una posible solución sería asegurarte de que la ruta del archivo sea correcta en el archivo de configuración del browser sync.
Otra opción sería utilizar el comando "json-server" en lugar de browser sync para ejecutar tu proyecto. Esto parece estar funcionando bien para ti, así que podría ser una solución viable.
Espero que esto te haya ayudado a resolver tu problema. ¡Buena suerte con tu proyecto! ¡Espero haber ayudado y buenos estudios!
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en cambio cuando coloco "json-server" todo aparece normal, es como si el browser sync desactivara en "Json-server".