Hola querido!! Para eso usamos el operador aritmetico %, el cual nos devuelve el resto de la division... Sabemos que todo número primo es divisible por 2.. Es decir que el resto es 0 !! La solución simple sería asi:

<meta charset="utf-8">    
<h1>¿Es mi número un número primo?</h1>
<input placeholder="Ingrese un número" type="number">    
<button>Haga click y lo sabrá</button>    

<script>    
    var input = document.querySelector("input");
    var boton = document.querySelector("button");
    boton.onclick = calcularSiEsPrimo

    function calcularSiEsPrimo(){
        var numero= input.value;
        if (numero!=""){    // Valido que hayan ingreado algun dato. (Si el input es distinto a vacio, entonces...)
            var resto= numero%2;    // El simbolo %, nos devuelve el resto de la division, si dividimos 4 por 2, el resto es 0, por lo tanto es primo.
            if(resto==0){
                alert("El numero es primo!");
            }else{
                alert("El numero NO es primo :(");
            }
        }else{
            alert("Debe ingresar un número");
        }                
    }
</script>