Hola Deibin, espero que estés bien!

Verdad, esta variable existe no es necesaria teniendo en cuenta que si los condicionales funcionan sin necesitarla. Creo que el instructor utilizó la variable con fines de visualización de problemas, etc.

Saludos y buenos estudios

Deibin te dejo algunas indicaciones en el código.

<meta charset="UTF-8">

<h1>Recetas de Armando </h1>

<script>

  var ingredientes = [];
  var cantidad = parseInt(prompt("¿Cuántos ingredientes vas a añadir?"));
  var contador = 1;

  while(contador <= cantidad) {  // (**) se ejecutara tantas veces como ingredientes se deban añadir
    var ingrediente = prompt("Informe el ingrediente " + contador);
    var existe = false;  // condicion inicial el ingrediente no existe
    for(var posicion = 0; posicion < ingredientes.length; posicion++) { // para comparar si existe ya el ingrediente
      if(ingredientes[posicion] == ingrediente){ // si existe el ingrediente se indica con existe  = true
        existe = true;
    alert("repetido " + ingrediente);
        break; // sale del for y continua en (*)
      }
     }
     if(existe == false) {  // (*) solo guarda en caso de que existe = false, en caso de true regresa a (**)
      ingredientes.push(ingrediente);
      contador++; // incrementa los guardados
     }
   }
   console.log(ingredientes);
</script>