Intenta con este código:
// Variables SIEMPRE fuera del while
var numeroMiembros = parseInt(prompt("Ingrese la cantidad de miembros de su familia"));
var contador = 1;
var totalEdades = 0; // Inicializamos totalEdades en 0
var mediaEdades; // Declaramos mediaEdades
while (contador <= numeroMiembros) { // Usamos <= en lugar de = para comparar
var edad = parseInt(prompt("Ingrese la edad del familiar"));
totalEdades += edad; // Acumulamos las edades en totalEdades
contador++;
}
mediaEdades = totalEdades / numeroMiembros; // Calculamos la media de edades
console.log("La media de edades de la familia es: " + mediaEdades); // Mostramos la media en consola
console.log("Fin"); // Mostramos "Fin" en consola
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