¡Hola Ricardo!

Una forma de hacerlo sería agregar una variable adicional, por ejemplo "aciertos", que se inicializa en cero antes de comenzar el ciclo while. Luego, dentro del if que se ejecuta cuando el usuario acierta, puedes incrementar esta variable en uno. Al final del juego, puedes imprimir el valor de "aciertos" junto con el mensaje de si ganaste o perdiste.

Aquí te muestro cómo quedaría el código modificado:

function saltarLinea() {
    document.write("<br>");    
    document.write("<br>");    
    document.write("<br>");    
}  

function imprimir(frase) {
    document.write(frase);
    saltarLinea();
}

var intentos = parseInt(prompt("Ingrese cantidad de intentos que desee hacer"));
var contador = 1;
var numerosuerte = Math.round(Math.random() * 10);
var aciertos = 0; // agregamos esta variable

while (contador <= intentos) {
    var numeroelegido = parseInt(prompt("Ingrese su número"));

    if (numeroelegido == numerosuerte) {
        alert("Ganó");
        aciertos++; // incrementamos la variable aciertos

        // si quieres, puedes seguir jugando aunque hayas acertado
    } else {
        if (contador == intentos) {
            alert("Perdió el juego");              
        } else {                
            alert("Perdió, siga intentando, le quedan " + (intentos - contador) + " intentos");
        }
    }
    contador++;
}

if (aciertos > 0) { // si acertaste al menos una vez
    imprimir("Acertó " + aciertos + " veces");
} else {
    imprimir("Perdió, el número ganador era " + numerosuerte);
}

Espero que esta solución te sea útil. Si tienes alguna otra duda, no dudes en preguntar. ¡Espero haber ayudado y buenos estudios!