Hola, te explico.
En JavaScript se maneja lo que son tipos de datos, hasta ahora estamos viendo los de tipo cadena y entero.
Cadena: todo texto con más de 1 caracter, se usan con comillas simples o dobles.
Entero: números enteros, positivos o negativos.
La diferencia es que con los números enteros puedes sumar y comparar (mayor, menor, etc), mientras que con las cadenas puedes concatenar, eso significa unir una cadena con otra.
prompt es una función (concepto que veremos después) que te devuelve un dato de tipo cadena, tú estás tratando de sumarlo como si fuera un número.
Si el usuario ingresa 30, en tu código se recibe como "30" y cuando le "sumas 1" a una cadena no le suma sino que le concatena, tu "30" se convierte en "301".
No te recomiendo sumarle a tu variable limite.
Para seguir la lógica de tu código, no le sumes 1. Mejor inicia tu contador en 1 y que la condición de tu while verifique que sea menor o igual.
Quedando así:
let limite = prompt('hasta que numero quiere que cuente?');
// limite =limite+1 <-- esto ya no, y no te olvides de poner punto y coma al final de cada línea
let contador = 1;
while(contador <= limite){
alert(`contador esta en: ${contador}`); // <-- no te olvides de las tildes invertidas
contador=contador + 1;
}