El error en el código es debido a que nunca se hace un incremento de la variable contador, por esta razón el ciclo nunca termina y siempre por pantalla se imprime 1. Este sería una de las alternativas para solucionar el problema. El contador se incremente de 1 en uno, pero se puede incrementar por la cantidad que uno dese.
package proyecto; public class Programa { public static void main (String[] args) {
int contador = 1;
while (contador <= 10) {
System.out.println (contador);
contador ++;
}
}
}